|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Re: Re: Functies
Hoi,
Omdat ik thuis zat, heb ik zeker 2 lessen wiskunde gemist en we zijn begonnen met een nieuw hoofdstuk: logaritmen. Ik snap er natuurlijk niets van en wou daarom vragen of jullie soms geen makkelijke oefeningen hadden, echt gemakkelijke met toepassingen op de bewijzen of zo ...
Ik zou jullie eeuwig dankbaar zijn...
Antwoord
Beste Roxaan,
De definitie van een logaritme is:
glog a = x $\Leftrightarrow$ gx = a
Voorbeeld:
2log 8 = 3 $\Leftrightarrow$ 23 = 8
Merk hierin op dat:
0log a = x $\Leftrightarrow$ 0x = a
KAN NIET
Voorbeeld:
0log 3 = x $\Leftrightarrow$ 0x = 3
Maar 0x is altijd 0.
1log a = x $\Leftrightarrow$ 1x = a
KAN NIET
Voorbeeld:
1log 3 = x $\Leftrightarrow$ 1x = 3
Maar 1x is altijd 1.
-2log a = x $\Leftrightarrow$ (-2)x = a
Het zou dus alleen kunnen als x oneven is en a negatief.
Voorbeeld:
-2log -8 = x $\Leftrightarrow$ (-2)x = -8
x = 3
Echter vaak houdt men aan dat het grondtal (g) positief moet zijn en ongelijk aan 1.
Dan nu de 6 bekendste eigenschappen van logaritmen:
1) gglog a = a
Bewijsje:
Toepassen van de definitie geeft:
gglog a = x
glog x = glog a
x = a
Voorbeeld:
22log 8 = 8
2) glog(a) + glog(b) = glog(a·b)
Bewijsje:
Neem glog(a) = x
en glog(b) = y
Dan geldt uit de definitie dat:
gx=a en
gy=b
En dus:
a·b = gx·gy
= gx+y
En uit de definitie volgt weer dat:
gx+y $\Leftrightarrow$ glog(ab) = x + y = glog(a) + glog(b)
Voorbeeld:
4log(3) + 4log(2) = 4log(6)
3)glog(a) - glog(b) = glog(a/b)
Bewijsje:
Neem glog(a) = x
en glog(b) = y
Dan geldt uit de definitie dat:
gx=a en
gy=b
En dus:
a/b = gx/gy
= gx-y
En uit de definitie volgt weer dat:
gx-y $\Leftrightarrow$ glog(a/b) = x - y = glog(a) - glog(b)
Voorbeeld:
3log(8) - 3log(2) = 3log(4)
4) p·glog(a) = glog(ap)
Bewijsje:
Neem eigenschap 1:
gglog a = a
Verhef beide tot de macht p:
gpglog a = ap
Nu geeft de definitie:
p·glog(a) = glog(ap)
Voorbeeld:
2·3log(4) = 3log(16)
5) blog(a) = glog(a)/glog(b)
Bewijsje:
Definitie weer:
blog(a) = x $\Leftrightarrow$ bx=a
Kies willekeurig een grondtal g:
glog(bx) = glog(a)
Uit eigenschap 4 volgt dan:
x·glog(b) = glog(a)
x = glog(a)/glog(b)
En we hadden reeds x =blog(a) dus:
blog(a) = glog(a)/glog(b)
Voorbeeld:
4log(3) = glog(3)/glog(4)
6) glog(a) = glog(b) $\Leftrightarrow$ a = b
Bewijsje:
Stel:
glog(a) = x en
glog(b) = y
Dan volgt uit de definitie:
gx = a
gy = b
Er geldt dus:
gx = gy
Maar dan moet gelden x = y en dus:
a = b
Voorbeeld:
3log(4) = 3log(x)$\Leftrightarrow$ 4 = x
Enkele weetjes:
Een logaritme waar geen grondtal bij staat heeft als grondtal 10:
log a = 10log a
Het Natuurlijke Logaritme wordt aangeduid met 'ln' en heeft als grondtal 'e':
elog a = ln a
Eigenschap 5 wordt vaak gebruikt om van het ene grondtal naar het andere te stappen.
Eigenschap 6 wordt vaak gebruikt voor het oplossen van logaritmische vergelijkingen.
In de meeste landen noteert men het grondtal niet als een macht voor 'log', maar als een index na 'log':
glog a = logg a
Ja en voor oefeningen raad ik je aan om gewoon eens te zoeken binnen wisfaq op logaritme en de vragen te zien als een oefening.
M.v.g.
PHS
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
